الاتصــال 2

إعادة تعريف دالة لتكون متصلة عند س = ل   Redefined the function to be continuous at x=l

    تعرفنا علي كيفية بحث اتصال دالة عند نقطة فكنا نعوض مباشرة في الدالة فإن كان الناتج غير معرف انتهينا إلى أن الدالة غير متصلة وهو موضوعنا معالجة هذه الحالة فقولنا يختص بالتعويض أي د(ل) غير معرفة حيث س تقترب من ل، نوجد غاية الدالة عندما س تؤول إلى ل فإن وجدت ك'ح كان بالإمكان إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة عند ل وإلا فلا يمكن إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة، وبصورة بسيطة للدوال غير المتصلة عند نقطة نوجد غايتها عند تلك النقطة والناتج يعطى لقيمة الدالة عند هذه النقطة والأمثلة التالية توضح ذلك.

(1) أعد تعريف الدالة الآتية (إن أمكن) لتكون متصلة عند س = 3

            س²– 5 س + 6

د(س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــ

                  س – 3

الحــــل:

    بالتعويض المباشر (س = 3) نحصل على:

            9 – 15 + 6       0

د(3) = ـــــــــــــــــــــــــــ = ــــــ  كمية غير معرفة

               3 – 3             0  

نبحث الغاية عندما س تؤول إلى 3

بوضع د(س) في أبسط صورة بتحليل المقدار الثلاثي س²– 5 س + 6 إلى (س – 3)(س – 2)

                                           س²– 5 س + 6                      (س – 3)(س – 2)   

غـــــــــــــــاد(س) = غـــــــــــــــا  ـــــــــــــــــــــــــــــــ = غـــــــــــــــا  ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = غـــــــــــــــا (س – 2) = 3 – 2 = 1

 س ←3             س←3         س – 3              س ←3          س – 3             س←3

 الآن يمكن كتابة الدالة بصورة جديدة وتكون متصلة عند س = 3 بالشكل الآتي:

                س²– 5 س + 6

            ( ــــــــــــــــــــــــــــــــ      س ¹ 3

د(س) =         س – 3

            (                            

                         1                  س = 3

(2) أعد تعريف الدالة الآتية (إن أمكن) لتكون متصلة عند س = 4

             س + 6

د(س) = ــــــــــــــــ

             س – 4

الحــــل:

    بالتعويض المباشر (س = 4) نحصل على:

            4 + 6       0

د(3) = ــــــــــــــــ = ــــــ  كمية غير معرفة

            4 – 4       0  

د(س) بسطها لا يحوي س –4 حتى يتم حذفه مع المقام ولذا يكون

غاية د(س) غير موجودة عند س = 4

فلا يمكن إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة عند س = 4

لاحـظ : الدالة د(س) متصلة في ح – {4}

(3)   أعد تعريف الدالة الآتية (إن أمكن) لتكون متصلة عند س = 3

             | س – 3 |

د(س) = ــــــــــــــــــــــ

               س – 3

الحــــل:

يجب إعادة تعريف المقياس حول العدد 3 الذي يجعل قيمته تساوي الصفر

س ≥ 3  يكون | س – 3 |= س – 3 ← د(س) = (س – 3) ÷ ( س – 3) = 1

س < 3 يكون | س – 3 | = – (س – 3) ← د(س) = – (س – 3) ÷ (س – 3) = – 1

أي أن:

               (    1       ، س ≥ 3   

د(س) =

               (  –1       ، س < 3

غــــــــــــــــــا د(س) = 1

 س ← 3⁺

غــــــــــــــــــا د(س) = –1

 س ← 3^–

أي أن الغاية غير موجودة لعدم تساوي الغاية اليمنى و اليسرى

لا يمكن إعادة تعريف الدالة لتكون متصلة عند س = 3

تمارين:

أعد تعريف كل من الدوال الآتية بحيث تكون متصلة(إن أمكن) عند س = ل

                        2

(1) د(س) = ــــــــــــــــــ    ،    ل = 5

                   س – 5

                   س²+ 5 س – 14

(2) د(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ    ،    ل = 2

                       س – 2

                         س + 1

(3) د(س) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ    ،    ل = – 1

                     ــــــــــــــــ

                  /\ س + 5  – 2

                   | س – 2 |

(4) د(س) = ـــــــــــــــــــــــ    ،    ل = 2

                     س – 2

                   س³ – 1

(5) د(س) = ــــــــــــــــــ    ،    ل = 1

                   س – 1

                 (  س³ – 1       ، س > 3   

(6) د(س) =                                         ، ل = 3

                 (  س + 23      ، س < 3